Лекция 7. Теоремы о дифференцируемых
функциях
- Теорема. Ролля. Если функция
g(x) непрерывна на отрезке [a,b],
дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах
обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует
по крайней мере одна точка a < c < b в
которой производная gў обращается в нуль
gў(c)=0.
Доказательство.
Так как функция непрерывна на [a,b], то она
имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение
m. Пусть g(c) - наибольшее значение.
Отсюда
|
g(c+Dx) -
g(c)
Dx
|
Ј 0,
Dx >
0 | |
|
g(c+Dx) -
g(c)
Dx
|
і 0,
Dx <
0 | |
Переходим к пределу и получаем одновременно
gў(с) і 0 и
gў(с) Ј 0,
следовательно, gў(с)=0.
Пример функции, для которой не выполняется
условие теоремы, поэтому производная внутри отрезка в 0 не обращается
- Теорема. Лагранжа. Если функция
g(x) непрерывна на отрезке [a,b],
дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует
по крайней мере одна точка a < c < b в
которой выполняется равенство
Доказательство. Применим теорему Ролля к
функции
где
- Теорема. Коши. Если функции
g(x) и h(x) непрерывны на отрезке
[a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого
отрезка, причем hў(x) № 0 внутри отрезка [a,b], то существует
точка a < c < b в которой выполняется
равенство
|
g(b)-g(a)
h(b)-h(a)
|
= |
gў(c)
hў(c)
|
| |
Доказательство.
Применим теорему Ролля к функции
где
Q=(g(b)-g(a))/(h(b)-h(a)) | |
- Теорема. Лопиталя. Пусть функции
g(x) и h(x) на некотором отрезке
[a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0
в точке x=a, т.е. g(a)=h(a)=0,
тогда если существует предел отношения gў(x)/hў(x) при x®
a, то существует и
причем
|
lim x®
a
|
gў(x)/hў(x)= |
lim x®
a
|
g(x)/h(x). | |
|