11 Еще один способ вывода формулы для
кривизны Рассмотрим окружность, касающуюся исследуемой кривой так,
что в точке касания первая и вторая производная кривой совпадает с теми же
производными окружности. Найдем центр такой окружности и ее радиус.
Дифференцируем по x
Еще раз дифференцируем
Находим
из последнего уравнения
Из (1)
откуда
Уравнения (2) и (3) -
уравнения эволюты. Подставляя (2) и (3) в (*) найдем радиус кривизны
2 Радиус кривизны в полярных
координатахЗапишем выражение радиуса кривизны для кривой, заданной
параметрически
yў= |
Ч
y
|
/ |
Ч
x
|
, y"=( |
ЧЧ
y
|
|
Ч
x
|
- |
ЧЧ
x
|
|
Ч
y
|
)/ |
Ч
x
|
3
|
| | Представим
полярные координаты как параметрическое задание кривой с параметром j
Тогда
|
Ч
x
|
= |
Ч
r
|
cosj-rsinj, |
Ч
y
|
= |
Ч
r
|
sinj+rcosj | |
|
ЧЧ
x
|
= |
ЧЧ
r
|
cosj-2 |
Ч
r
|
sinj-rcosj, |
ЧЧ
y
|
= |
ЧЧ
r
|
sinj+2 |
Ч
r
|
cosj-rsinj. | | Отсюда
радиус кривизны имеет вид
Для спирали Архимеда r = kj получим
Для
больших углов j имеем приближенное выражение
R = kj.
3 Эволюта эллипсаЭллипс -
геометрическое место точек, от которых сумма расстояний до двух
фиксированных точек (полюсов) постоянна. Координаты полюсов x=±c, y=0.
|
Ц
|
y2+(x-c)2
|
+ |
Ц
|
y2+(x+c)2
|
=2a | | Возводим
в квадрат и упрощаем
Еще
раз возводим в квадрат, вводим обозначение a2-c2=b2. Получаем
уравнение эллипса
Уравнение
эллипса в параметрической форме
Радиус
кривизны
R= |
(a2sin2t+b2cos2t)3/2
ab
|
. | | Найдем
радиус кривизны в вершинах. При t=0 имеем
R=b2/a, что совпадает с фокальным
параметром (x=c, y=b2/a).
При t=p/2получим
R=a2/b. Легко показать, что центр кривизны
вершины t=0 лежит между фокусами:
Рис. 1
Рис. 2 Эволюта
не выходит за пределы эллипса, если радиус кривизны вершины t=p/2 меньше 2b:
4 Эволюта циклоидыУравнение
циклоиды в параметрической форме
Уравнение
эволюты
u=a(t+sint), v=-a(1-cost) | |
Рис. 3 -
циклоида (с точностью до замены переменных t ~
t-p,
u ~ u-ap, v ~ v-2a).
5 Переходная криваяДля того,
чтобы между прямой и соединенной с ней окружностью r(с общей
касательной в точке сопряжения) не было скачка кривизны, вызывающего
скачок центробежной силы, например, для железнодорожного полотна,
необходимо между прямой и окружностью вставить переходный участок. Пусть
этот участок имеет форму кубической параболы
y=ax3/3. Одна точка спряжения - между прямой и
кривой - в начале координат, в другой точке сопряжения
x0 кривизна переходной кривой и окружности совпадает
r=(1+yў2)3/2/y" =
(1+a2x02)3/2/(2ax0) | | Отсюда
можно найти параметр a в зависимости от радиуса скругления r
и места сопряжения x0. |