4 Непрерывность функций и производная
-
Непрерывность.
Функция y=f(x) называется
непрерывной при x=x0, если она определена в некоторой
окрестности x0 и если limDx® 0Dy=0.
Пример. 1. Функция
y=x2 непрерывна.
Пример. 2. Функция
y=sin(x) непрерывна.
Теорема 1. Сумма функций
непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция.
Теорема 2. Произведение
функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная
функция.
Теорема 3. Частное двух
функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная
функция, если знаменатель не обращается в 0.
Теорема 4. Если
u=g(x) непрерывная функция в точке x0 и
f(u) непрерывная функция в точке
u0=g(x0), то f (
g(x)) есть также непрерывная функция.
Теорема 5. Всякая
элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Непрерывность на интервале. Непрерывность слева и
справа. Непрерывность на замкнутом отрезке. Разрывы 1-го рода.
-
Свойства непрерывных функций.
Теорема 6. Если функция
y=f(x) непрерывна на отрезке a Ј x Ј b, то на этом
отрезке найдется точка x1, такая, что
f(x1) і f(x)
для любого x из этого отрезка, и найдется точка x2,
такая, что f(x2) Ј
f(x) для любого x из этого отрезка.
Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.
Теорема 7. Если функция
y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на
концах отрезка принимает значения разного знака, то на этом отрезке найдется
точка c, такая, что f(c)=0.
Теорема 8. Если функция
y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на
концах отрезка принимает значения A и B, то на этом отрезке
найдется точка c, такая, что f(c)=C, если C
заключено между A и B.
-
Сравнение бесконечно малых
Бесконечно малые одного порядка
limx® 0[(b)/(a)]=A № 0.
b - бесконечно малая
высшего порядка limx® 0[(b)/(a)]=0.
b - бесконечно малая
k-го порядка относительно a
limx® 0[(b)/(ak)]=A №
0.
Эквивалентные бесконечно малые limx® 0[(b)/(a)]=1.
Теорема 9. Если a и b эквивалентные бесконечно
малые, то b-a есть бесконечно малая высшего порядка, чем a и b.
-
Производная.
Если существует предел
то он
называется производной функции y=f(x) по аргументу
x.
Операция дифференцирования.
Геометрическое значение производной.
Теорема 10. Если функция
дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Пример .
Производная y=sin(x).
-
Производная суммы, произведения и частного.
Производная y=xn.
Доказательство методом мат.индукции.