5 Производная
- Производная y=logax.
Dy=loga(x+Dx)-loga(x)=loga(1+Dx/x) | |
|
Dy
Dx
|
= |
1
x
|
loga |
ж и |
1+ |
Dx
x
|
ц ш |
x/Dx
|
| |
- Производная сложной функции.
Теорема. Если
функция u=j(x) имеет в некоторой
точке x производную uўx=jў(x), а функция y=F(u)
имеет в соответствующей точке u производную Fўu=Fў(u), то сложная функция
y=F(j(x)) в указанной
точке x также имеет производную yўx=Fўu(u)jў(x).
- Производная y=tg(x), y=ctg(x),
- Производная неявной функции. Пример
y2+x2=1.
- Производная степенной функции при действительном показателе.
Производная сложной показательной функции.
y=uv,
yў=vuv-1uў+uvvўlnu.
- Производная обратной функции.
Замечание (без док.) Если возрастающая
(убывающая) функция непрерывна на некотором отрезке [a,b],
и f(a)=A, f(b)=B, то обратная
функция определена и непрерывна на отрезке [A,B].
Примеры.
Обратные тригонометрические функции.
- Производная параметрически заданной функции. Примеры.
- Окружность. x=acost,
y=asint.
- Циклоида. x=a(t-sint), y=a(1-cost).
- Астроида. x=acos3 t,
y=asin3 t.
|