3 Теоремы о пределах
- Бесконечно большие и бесконечно малые.
Функция f(x) стремится к
бесконечности при x стремящимся к a, если для любого
M > 0 можно указать такое значение d
> 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству |x-a| < d имеет место
неравенство |f(x)| > M.
limx®
a=Ґ
- Функция ограниченная при x®
a.
- Функция ограниченная при x® Ґ.
- Теорема. Если limx®
a f(x)=b, то функция
f(x) ограниченная при x®
a.
- Бесконечно малые и их свойства. limx® a a(x)=0
Теорема. 1. Если
f(x)=b+a, где a - б.м. при x®
a, то limx® a
f(x)=b и обратно, если limx® a f(x)=b, то
можно записать f(x)=b+a(x).
Теорема. 2. Если
limx® a a(x)=0 и a(x)
№ 0, то 1/a® Ґ.
Теорема. 3. Сумма
конечного числа б.м. есть б.м.
Теорема. 4.
Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.
- Теоремы о пределах.
Теорема. 1. Предел
суммы есть сумма пределов.
Теорема. 2. Предел
произведения есть произведение пределов.
Теорема. 3. Предел
частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
Теорема. 4. Если
u(x) Ј z(x) Ј v(x), и limx® a
u(x)=limx®
a v(x)=b, то limx® a z(x)=b.
("Теорема о двух милиционерах").
- Первый замечательный предел.
0.5sin(x) < 0.5x
< 0.5tg(x) | |
- Второй замечательный предел.
Переменная величина
при
n® Ґ имеет
предел, заключенный между 2 и 3.
|