8 Раскрытие неопределенностей вида
Ґ/Ґ
Теорема. Пусть
функции g(x) и h(x) непрерывна и дифференцируемы при всех x № a в окрестности точки a, причем производная hў(x) не обращается в нуль и
|
lim x®
a
|
g(x)=Ґ,
|
lim x®
a
|
h(x)=Ґ | | и
пусть существует предел
тогда
существует предел
и
|
lim x®
a
|
g(x)/h(x)= |
lim x®
a
|
gў(x)/hў(x)=A. | | Доказательство. По теореме Коши
|
g(x)-g(a)
h(x)-h(a)
|
= |
gў(c)
hў(c)
|
| | где a < c < x
|
g(x)-g(a)
h(x)-h(a)
|
= |
g(x)
h(x)
|
|
1-g(a)/g(x)
1-h(a)/h(x)
|
= |
gў(c)
hў(c)
|
| | или
|
gў(c)
hў(c)
|
|
1-h(a)/h(x)
1-g(a)/g(x)
|
= |
g(x)
h(x)
|
| |
(*) | По условию теоремы (см.
определение предела)
Очевидно,
|
lim x®
a
|
|
1-h(a)/h(x)
1-g(a)/g(x)
|
=1 | | Следовательно,
| |
1-h(a)/h(x)
1-g(a)/g(x)
|
-1| < e | | или
1-e < |
1-h(a)/h(x)
1-g(a)/g(x)
|
< 1+e | |
(2) | Перемножая (1) и (2), получим
на основании (*)
(1-e)(A-e) < |
g(x)
h(x)
|
< (1+e)(A+e) | | ч.т.д
2 Формула ТейлораПредположим, что
функция y=g(x) имеет все производные до порядка n+1 включительно в
некотором промежутке, содержащем точку x=a. Справедлива формула Тейлора1
g(x)=g(a)+ |
x-a
1!
|
gў(a)+ |
(x-a)2
2!
|
g"(a)+...+ |
(x-a)n
n!
|
g(n)(a)+Rn(a) | | Остаточный
член ищем в форме
Rn(a)= |
(x-a)n+1
(n+1)!
|
Q(x) | | Найдем
Q(x)=g(n+1)(x) (остаточный член в
форме Лагранжа). При a=0 ф-ла Тейлора называется формулой Маклорена 2
Пример. 1
ex=1+x+x2/2+x3/6+...+xn/n!+xn+1/(n+1)!eqx, 0 < q
< 1 | |
Пример. 2
sin(x)=x- |
x3
6
|
+ |
x5
120
|
+...+ |
xn
n!
|
sin(pn/2)+ |
xn+1
(n+1)!
|
sin(x+(n+1)p/2). | |
Пример. 3
cos(x)=1- |
x2
2
|
+ |
x4
24
|
+...+ |
xn
n!
|
cos(pn/2)+ |
xn+1
(n+1)!
|
cos(x+(n+1)p/2). | | |x|
< |x|.
при
всех x. На рисунке (Maple 8) видно, как с увеличением числа членов
разложения функции sin(x) кривая приближается к истинной (красного цвета)
Footnotes:
1Тейлор
Брук(1685-1731) - английский математик, философ. Ученый секретарь
Лондонского королевского об-ва. В 1715 опубликовал формулу разложения
функций в степенной ряд
2
Маклорен Колин (1698-1746) - шотландский математик. Член Лондонского
королевского об-ва. Ученик И.Ньютона.
|