10 Элементы дифференциальной
геометрии. Кривизна. Эволюта. Эвольвента
Переходим к пределу
Кривизна
Определение.
K= |
lim Ds® 0
|
|
Dj
Ds
|
= |
dj
d s
|
| | Так как
для окружности s=jR, то очевидно, K=1/R. Найдем
выражение для кривизны произвольной кривой y=y(x).
Так как tgj = yў то j = arctanyў. Дифференцируем
С учетом
(1) и (2) получим
По
определению радиус кривизны кривой R=1/K.
Эволюта
Определение.
Эволюта - геометрическое место центров кривизн кривой. Введем
переменные u и v - координаты точек эволюты. Совместим оси u и x, v и y.
Рис. 1
Из рисунка получим
Так
как tgj = yў то
Уравнение
эволюты (в параметрической форме, параметр - x)
Пример. Эволюта параболы y=x2, yў=2x, y"=2.
Рис.
2 Теорема. Касательная к эволюте есть
нормаль к кривой (эвольвенте).
Доказательство.
Найдем касательную к кривой (3). Вычислим
|
dv
dx
|
=yў+ |
2yўy"2-y"ў(1+yў2)
y"2
|
= |
3yўy"2-y"ў(1+yў2)
y"2
|
| |
(5) |
|
du
dx
|
=1- |
y"2(1+3yў2)-y"ўyў(1+yў2)
y"2
|
=-yў |
3yўy"2-y"ў(1+yў2)
y"2
|
| | Отсюда
Теорема. На участке с монотонным изменением кривизны
приращение дуги эволюты равно приращению радиуса кривизны кривой.
Доказательство.
На основании (4) и (5) найдем квадрат производной от длины дуги
эволюты
|
ж и |
dS
dx
|
ц ш |
2
|
= |
ж и |
dv
dx
|
ц ш |
2
|
+ |
ж и |
du
dx
|
ц ш |
2
|
= (1+yў2) |
ж и |
3yўy"2-y"ў(1+yў2)
y"2
|
ц ш |
2
|
. | |
(6) | С другой стороны квадрат
радиуса кривизны кривой
Дифференцируем
2RRў= |
6(1+yў2)2yўy"3-2y"y"ў(1+yў2)3
y"4
|
| | Упрощаем
RRў= |
3(1+yў2)2yўy"2-y"ў(1+yў2)3
y"3
|
=(1+yў2)2 |
3yўy"2-y"ў(1+yў2)
y"3
|
. | | Возводим
в квадрат
R2Rў2=(1+yў2)4 |
(3yўy"2-y"ў(1+yў2))2
y"6
|
. | | Подставляем
R2 и получаем
Rў2=(1+yў2) |
(3yўy"2-y"ў(1+yў2))2
y"4
|
. | |
(7) | Сравнивая (6) и (7),
убеждаемся
|
ж и |
dS
dx
|
ц ш |
2
|
= |
ж и |
dR
dx
|
ц ш |
2
|
| | или
На
участке монотонного изменения кривизны (увеличения)
По
теореме Коши
или
S1-S0=R1-R0 ч.т.д На рис.2 длина дуги AB равна
разности радиусов AA'-BB'.
Выведем уравнение эвольвенты
окружности.
Рис. 3
Найдем
координаты точки М.
x=Rcosj+Rjsinj y=Rsinj-Rjcosj
Эвольвента на рисунке выделена красным
цветом. |