15 Экстремумы функции двух
переменных
- Теорема. Необходимые условия экстремума
Если функция
z=f(x,y) достигает экстремума при.
x=x0, y=y0, то каждая
частная производная первого порядка от z или обращается в нуль
или не существует (x=x0,
y=y0 - критическая точка).
Теорема не является достаточной для
определения максимума или минимума.
Пример.
Очевидно, производные равны 0 при x=0,
y=0, но экстремума нет. Такая особенность функции называется
седлом.
- Введем обозначения для производных
|
¶2f
¶x2
|
=A, |
¶2f
¶xy
|
=B, |
¶2f
¶y2
|
=C. | |
Теорема. Пусть в
некоторой области, содержащей точку
M0(x0,y0), функция
f(x,y) имеет непрерывные частные производные до
третьего порядка включительно. Если точка
M0(x0,y0) является
критической
то
при x=x0, y=y0
- f(x,y) имеет максимум если AC-B2 > 0, A < 0;
- f(x,y) имеет минимум если AC-B2 > 0, A > 0;
- f(x,y) не имеет ни максимума, ни минимума,
если AC-B2 < 0;
- требуется дополнительное исследование, если AC-B2=0.
Доказательство.
По формуле Тейлора
f(x0+Dx,y0+Dy) =
f(x0,y0)+ |
¶f(x0,y0)
¶x
|
Dx+ |
¶f(x0,y0)
¶y
|
Dy+ | |
+ |
1
2
|
(ADx2+2BDxDy+CDy2)+a(Dr)3 | | где
а
a стремится к 0 при Dr®
0. Так как в критической точке [(¶f)/(¶x)]=0,
[(¶f)/(¶y)]=0, то
Df= |
1
2
|
(ADx2+2BDxDy+CDy2)+a(Dr)3 | |
(1) | Обозначим Dx=Drcosj, Dy=Drsinj. Преобразуем (1)
Df= |
1
2
|
Dr2(Acos2j+2Bcosjsinj+Csin2j)+a(Dr)3 | |
(1) |
Df= |
1
2
|
Dr2 |
ж и |
(Acosj+Bsinj)2+(AC-B2)sin2j
A
|
ц ш |
+a(Dr)3 | |
(2) | Доказательство теоремы
следует из анализа (2).
- Пусть AC-B2 >
0. Тогда (Acosj+Bsinj)2+(AC-B2)sin2j > 0. При A < 0 имеем Df < 0 (максимум), а при A > 0
имеем Df > 0 (минимум).
- Пусть AC-B2 <
0, A > 0. Тогда при sin2j = 0 из (2) следует
Df= |
1
2
|
Dr2(A+a(Dr)3) >
0, | | т.е. функция
возрастает от критической точки на этом направлении. При
Acosj+Bsinj = 0 из (2) следует
Df= |
1
2
|
Dr2 |
ж и
|
(AC-B2)sin2j)
A
|
ц ш
|
+a(Dr)3 <
0, | | т.е. функция
уменьшается от критической точки на этом направлении. Таким образом в
критической точке нет ни максимума ни минимума. Аналогично исследуется
случай A < 0 и случай AC-B2 < 0, A=0.
|