14 Функции нескольких переменных
- Полное приращение и полный дифференциал
Задана функция
z=f(x,y).
Предположим,
что z=f(x,y) в точке (x,y)
имеет непрерывные частные производные. Запишем
Dz=[f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y+Dy)]+[f(x,y+Dy)-f(x,y)] | | Применим
теорему Лагранжа
Так
как частные производные непрерывны, то при Dx® 0 и Dy® 0 имеем
|
¶x
|
® |
¶f(x,y)
¶x
|
, |
¶y
|
® |
¶f(x,y)
¶y
|
| | Выражение
полного дифференциала имеет вид
dz= |
¶f(x,y)
¶x
|
dx+ |
¶f(x,y)
¶y
|
dy. | |
- Производная сложной функции. Полная производная.
Dz= |
¶F
¶u
|
Dxu+ |
¶F
¶v
|
Dxv+g1Dxu+g2Dxv | | Делим
на Dx
|
¶z
¶x
|
= |
¶F
¶u
|
|
¶u
¶x
|
+ |
¶F
¶v
|
|
¶v
¶x
|
| |
Для функции
w=F(z,u,v,s), где
z=z(x,y),
u=u(x,y),
v=v(x,y),
s=s(x,y), имеем
|
¶w
¶x
|
= |
¶w
¶z
|
|
¶z
¶x
|
+ |
¶w
¶u
|
|
¶u
¶x
|
+ |
¶w
¶v
|
|
¶v
¶x
|
+ |
¶w
¶s
|
|
¶s
¶x
|
, | |
|
¶w
¶y
|
= |
¶w
¶z
|
|
¶z
¶y
|
+ |
¶w
¶u
|
|
¶u
¶y
|
+ |
¶w
¶v
|
|
¶v
¶y
|
+ |
¶w
¶s
|
|
¶s
¶y
|
. | | Если
задана функция z=F(x,u,v), u=u(x), v=v(x), то полная производная
имеет вид
|
dF
dx
|
= |
¶F
¶x
|
+ |
¶F
¶u
|
|
¶u
¶x
|
+ |
¶F
¶v
|
|
¶v
¶x
|
| |
- Производная от функции, заданной неявно
F(x+Dx,y+Dy)-F(x,y)= |
¶F
¶x
|
Dx+ |
¶F
¶y
|
Dy+g1Dx+g2Dy, | |
При
Dx® 0 и Dy® 0
- Частные производные различных порядков
Производные второго порядка
Аналогично,
производные третьего порядка
Теорема. Если функция
z=f(x,y) и ее частные производные
fўx, fўy, f"xy и
f"yx определены и непрерывны в точке
M(x,y) и в некоторой ее окрестности, то
- Градиент
Введем вектор (градиент)
|
®
grad
|
u={ |
¶u
¶x
|
, |
¶u
¶y
|
, |
¶u
¶z
|
} | | Производная
по направлению
Производная по направлению имеет наибольшее
значение, если направление совпадает с направлением градиента.
|