Вопросы к экзамену по высшей мат

ОТВЕТЫ НА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

1. Числа. Необходимость существования иррациональных чисел. Доказать, что Ö2 нельзя представить в виде рациональной дроби. Целые, натуральные рациональные p/q, иррациональные, вещественные, комплексные (откладывают в плоскости)

Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Наз. ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ числами. Теорема. Каждое иррациональное число можно с любой степенью точности приблизить рациональным число

2. Свойства модуля. Метод математической индукции

$\begin{displaymath} \vert a\vert=\cases{ a, &$a$ положительно;\cr 0, &$a=0$;\cr -a, &$a$ отрицательно.\cr } \end{displaymath}$ Свойства модуля:

$\vert a\ b\vert=\vert a\vert\ \vert b\vert, \ \left\vert\displaystyle{\frac{a}{b}}\right\vert=\displaystyle{\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}};$ $\vert a+b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert;$ $\vert a-b\vert\geq\Bigl\vert\vert a\vert-\vert b\vert\Bigr\vert$

Высказывание ¥n:A(n) истинно, если выполняются следующие условия: 1. (База индукции.) Высказывание A(n)истинно для n=1 2. (Шаг индукции.) Из истинности A(n)при n=k (предположение индукции) вытекает истинность этого высказывания при n=k+1, т.е. A(k) =>A(k+1) - истинная импликация.

3. Три вида алгебраических функций. 1. Многочлен y=a0xn+a1xn1+...+an, P(x).

2. Дробная рациональная функция y=[(a0xn+a1xn1+...+an)/(b0xm+b1xm1+...+bm)].

3. Иррациональная функция. Операции +, , / ,*, и возведение в степень с рациональными нецелыми показателями. Общий вид - y=f(x), P0(x)yn+P1(x)yn1+...+Pn=0

4.Полярная система координат. Спираль Архимеда. Спираль логарифмическая. Спираль гиперболическая. Кардиоида. Лемниската Примеры кривых. Спираль Архимеда r = kj, логарифмическая спираль r = kej, кардиоида r = a(1 + cosj),
лемниската r = aÖcos2j.

5.Переменная величина. Предел переменной величины. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Постоянное число a называют пределом переменной величины x, если для любого e > 0 можно указать такое значение x, что все последующие значения будут удовлетворять неравенству |x-a| < e

У одной переменной двух пределов не существует.(Док) Предел последовательности. Прим. Доказать, что если задана последовательность a_n=2+1/n, то lima_n=2.

Предел числ. послед.- это ф-ия f: N®R определённая на множестве всех натуральных чисел. Число а- предел числовой послед. (x_n) т. е. lim x_n=a при n®беск. если для любого Е>0 существует номер N(Е) такой, что при n>N(E) выполняется нер-во ½x_n-а½<Е.

6. Основные теоремы о пределах числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Осн. теор. о пределе числ. послед. – №1 Если, начиная с некоторого номера члены двух последовательностей равны, то равны и пределы этих последовательностей, если они сущ. №2 Если, начиная с некоторого номера a_n<b_nи lima_n=a и limb_n=b,то a=b при n®беск.. №3 Если, начиная с некоторого номера приa_n£с_n£b_n,еслиa_n и b_n®к a"E>0$К=max{к₁;к₂}:"_n>КÞa-E<a_n£ с_n£ b_n<a+EÞa-E< с_n<a+E.Любая монотонно-возрастающая(убывающая) ограниченная сверху(снизу) послед. имеет конечный предел.№4Если в окрест. X₀ф-ия монотонно возраст.(убывает.), то ф-ия в этой точке имеет одностор. пределы.Последовательность {α_n}называется бесконечно малой, если α_n à0при nà ∞. Развернутое определение: $\begin{displaymath} \forall\ \varepsilon>0\quad \exists\ N(\varepsilon)\in\mathb... ...forall\ n>N(\varepsilon):\quad \vert\alpha_n\vert<\varepsilon. \end{displaymath}$ Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если $\begin{displaymath} \forall\ E>0\quad \exists\ N(E)\in{\mathbb{N}}\quad \forall\ n>N(E):\ \vert x_n\vert>E. \end{displaymath}$ Этот факт мы будем записывать так: x_nà∞при nà∞или $\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty}{x_n}=\infty. \end{displaymath}$ Функция α=α(x) называется бесконечно малой функцией при xàx₀, если α(x)à0при xàx₀.

Функция A=A(x) называется бесконечно большой функцией при xàx₀, если $\begin{displaymath} \lim_{x\to x_0}{A(x)}=\infty \end{displaymath}$

или, в развернутой форме, если для любого E>0существует δ(E)>0, что для всех $x,\ 0<\vert x-x_0\vert<\delta(E):\ \vert A(x)\vert>E$

7. Теорема о пределе монотонной ограниченной числовой последовательности.

Числовая последовательность – действительная функция натурального аргумента (f:N->R) An=f(n)

Числовая посл {Xn} называется возраст/убыв, если каждый из ее челенов больше/меньше предшествующего. Неубыв/Невораст, если кажд ее член не меньше (не больше) предыд. (X1<=X2…Xn<=..)

Если для любого сколь угодно малого положит числа E>0 найдется такой номер N (завис от Е N=N(E)), что для всех членов последоват с номерами n>N верно неравенство |An-A|<E. Расходящаяся- не имеющая конечного предела. Ограниченная – если все ее члены лежат в конечном интерв (-k;k)

Теорема (о двух милиционерах): Пусть {An},{Bn},{Cn} – числов послед и An<=Bn<=Cn для кажд натур n. Если пределы числ посл {An} и {Cn} существ и lim An (n->беск)=lim Сn, то сущ предел числ посл {Bn} и lim Bn=A

8. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределе функции в точке Определение 1. (по Гейне) Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ (или при xàx₀) если для ¥ последовательности {x_n} такой, что x_n àx₀ и ¥ x_x≠x₀ соответствующая последовательность значений функций {f(x_n)} сходится А. Пишем:

Определение 2. (по Коши) Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ (или при xàx₀) если для произвольного числа E>0 найдется число δ(E)>0 такое, что из условия │x-x₀│<δ^¥x≠x₀ (1) вытекает неравенство │f(x)-A│<E. Определение 2. (в кванторах)

9.Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентность бесконечно малых функций. Вычисление пределов с использованием эквивалентных бесконечно малых функций. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если . Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю. Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x. Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b. Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b. Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x. т.е. функция f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x. Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля. Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение α/β не имеет предела, то функции несравнимы. Пример. Если α=xsinx, β=x, то при х®0 , т.е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b. Пример. Если α =xsin 1/x, β=x, то при х®0 не существует, т.е. функция a и b несравнимы.

lim sinx/x=1 при х®0.Док-во: рассмотрим окр. радиуса 1, пусть ÐМОВ=х.S треуг. МОА<S сектора МОА<S треуг. СОА. S треуг. МОА=1/2*ОА*МВ=1/2*1*sinx=1/sinx. S сектора МОА=1/2*ОА*АМ=1/0*1*х=1/2*х. S треуг. СОА=1/2*ОА*АС=1/2*1*tgх=1/2tgx. Sinx<x<tgx(делим на sinx): 1<x/sinx<1/cosx или 1>sinx/x>cosx. Lim cosx=1 при х®0, а lim1=1 Þsinx/x=1. Первый замечательный предел- lim(1+1/х)^х при х®беск. = lim(1+а)^1/а при а®0=е

при n® ¥ имеет предел, заключенный между 2 и 3

e- трансцендентное число ( не является корнем алгебр многочл)Теорема: Если в некот числ послед {Rn} n принадл N все члены по абсол величине больше 1 и lim (nàбескон) |Rn| = бескон, то lim (nà бескон) (1+Rn)^Rn= e

12. Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций.

Пусть функция f(x) определена в окрестности точки Xo. Функция y=f(x) непрерывна в точке X=Xo, если lim (x->xo) f(x) = f(xo) Равномерно непрерыв: Ф-ция f(x), определенная в замкнутом интерв [a,b] непрерывна равномерн, если для произвольного E>0 можно так разбить замкн интерв [a,b] на конечное число интерв [ai,ai+1] i=1,…,n

[ai,ai+1]= [a,b], что знач ф-ции в двух произв точках одного и того же интерв отлич меньше, чем на Е

Св-ва: Ф-ция равномерно непрерывная в интерв [a,b]: 1) непрер в кажд точке интерв 2) равномерно непрер в этом интерв 3) ограничена в этом интерв

T: Ф-ция, непрер в замкн интер,в приним в этом интерв все знач, заключ между наим и наиб ее знач

Т: Если непрер в замкн интерв ф-ция положит на одном конце этого интерв и отриц на др, то в интерв сущ по крайней мере одна точка, в кот ф-ция обращ в 0 Т: Если ф-ция f(x) непрер в замкн интерв, то в этом интерв сущ по кр мере одна точка, в кот ф-ция приним наиб знач и , по крайней мере одна точка, в кот ф-ция приним наим знач.

13.Функции, непрерывные на отрезке. Основные теоремы. Теорема 6. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке a £ x £ b, то на этом отрезке найдется точка x₁, такая, что f(x₁) ³ f(x) для любого x из этого отрезка, и найдется точка x₂, такая, что f(x₂) £ f(x) для любого x из этого отрезка. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке. Теорема 7. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения разного знака, то на этом отрезке найдется точка c, такая, что f(c)=0. Теорема 8. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения A и B, то на этом отрезке найдется точка c, такая, что f(c)=C, если C заключено между A и B.

14. Производная. Непрерывность и дифференцируемость. Правила дифференцирования функций

Производная ф-ции Пусть ф-ция y=f(x) определена в окресности точки X=Xo, X=X1, точка этой же окресн, причем X1 не равно Xo. Разность X=X1-Xo называется приращением независ перемен. Соответствующая разность y=f(x1)-f(xo) называется приращ завис перемен. Частное y/x = (f(xo+x)-f(xo))/x назыв разностным отношением. Производной ф-ции f(x) в точке x=xo называется предел разностного отнош f`(xo)= lim (x->o) (f(xo+x)-f(xo))/x Геом смысл: произв f`(xo) есть угловой коэф (tg угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке xo, т.е. k= f`(xo) Ур-е касат: y-f(xo)=f`(xo)(x-xo) Физ смысл: произв – это скорость изменения ф-ции относит некот исследуемого фактора Если ф-ция y=f(x) дифференц в точке хо, то она в этой точке непрер Непрерывность.Функция y=f(x) называется непрерывной при x=x₀, если она определена в некоторой окрестности x₀ и если lim_{Dx®
0}Dy=0. Пример. 1. Функция y=x² непрерывна. Пример. 2. Функция y=sin(x) непрерывна. Теорема 1. Сумма функций непрерывных в точке x₀ есть также непрерывная функция. Теорема 2. Произведение функций непрерывных в точке x₀ есть также непрерывная функция. Теорема 3. Частное двух функций непрерывных в точке x₀ есть также непрерывная функция, если знаменатель не обращается в 0. Теорема 4. Если u=g(x) непрерывная функция в точке x₀ и f(u) непрерывная функция в точке u₀=g(x₀), то f ( g(x)) есть также непрерывная функция. Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Непрерывность на интервале. Непрерывность слева и справа. Непрерывность на замкнутом отрезке. Разрывы 1-го рода. Если существует предел limDx® 0 Dy/Dx 1.то он называется производной функции y=f(x) по аргументу x. 2.Операция дифференцирования. 3.Геометрическое значение производной. Теорема 10. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

15. Производные сложной, обратной, параметрически заданной и неявной функций. Производная y=log_ax. Dy=log_a(x+Dx)-log_a(x)=log_a(1+Dx/x)

Dy/Dx=1/x loga (1+Dx/x)^x/Dxy`=1/x 1/lna Производная сложной функции. Теорема. Если функция u=j(x) имеет в некоторой точке x производную u¢_x=j¢(x), а функция y=F(u) имеет в соответствующей точке u производную F¢_u=F¢(u), то сложная функция y=F(j(x)) в указанной точке x также имеет производную y¢_x=F¢_u(u)j¢(x). Производная y=tg(x), y=ctg(x), Производная неявной функции. Пример y²+x²=1. Производная степенной функции при действительном показателе. Производная сложной показательной функции. y=u^v, y¢=vu^v-1u¢+u^vv¢lnu. Производная обратной функции. Замечание (без док.) Если возрастающая (убывающая) функция непрерывна на некотором отрезке [a,b], и f(a)=A, f(b)=B, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [A,B]. f¢(x)=1/g¢(y) Примеры. Обратные тригонометрические функции. Производная параметрически заданной функции. Примеры. 1.Окружность. x=acost, y=asint. 2.Циклоида. x=a(t-sint), y=a(1-cost). 3.Астроида. x=acos³ t, y=asin³ t.

16.Гиперболические функции y=sh(x), y=ch(x). Определение. Графики y=sh(x), y=ch(x). Обратные гиперболические функции Гиперболические синус и косинус ch x =e^x-e^-x/2, chx= e^x+e^-x/2

Гиперболические тангенс и котангенс thx=shx/chx, cthx=chx/shxСвойства гиперболических функций: sh x+ch x=e^x ,ch² x–sh² x=1,ch2x=1+2sh² x, sh2x=2shxchx, sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y, ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y. Обратные гиперболические функции: arthx=1/2ln1+x/1-x,[x]<1 x≥1 x ≥ 1 Областью определения функций shx , chx , thx является вся числовая ось; функция y=cthx не определена в точке х=0. Название гиперболических функций (синус, косинус, …) объясняется тем, что для них справедливы тождества ''похожие'' на тригонометрические: ch(x± y)=chx · chy ± shx · shy , (1)sh(x± y)=shx · chy± chx · shy , (2)ch2x–sh2x=1 , (3)

ch2x=ch2x+sh2x , (4)sh2x=2shx · chx . (5) Тождества (2) и (5) аналогичны соответствующим формулам тригонометрии, а формулы (1) , (3) и (4) отличаются от тригонометрических только знаком. Доказываются тождества (1) – (5) непосредственной проверкой. Более подробно о тождествах для гиперболических функций изложено в разделе II Гиперболические синус и косинус ch x =e^x-e^-x/2, chx= e^x+e^-x/2

Гиперболические тангенс и котангенс thx=shx/chx, cthx=chx/shx

Цикло́ида (от греч. — круглый) — плоская трансцендентная кривая, — кривая, все точки которой лежат в одной плоскости описываемая парметрическими уравнениями x=rt-rsint, y=r-rcost Представляет собой траекторию точки окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой (в приведённом примере такой прямой является горизонтальная ось координат).

Циклоида - таутохронная кривая: время за которое материальная точка скатывается по кривой (обращенной выпуклостью вниз) до определенной высоты, не зависит от исходного положения её на кривой. Это свойство циклоиды было использовано Х. Гюйгенсом (1673) для построения изохронного циклоидального маятника, период колебания которого T=4p(r/g)1/2 не зависит от амплитуды (g - ускорение силы тяжести). Обобщение циклоида – трохоида

18. Производная сложно степенной функции. Пример. Дифференциал

19. Формула Лейбница Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций. Формула Лейбница. y"=(y¢)¢. y(x)=u(x)v(x), y¢=u¢v+v¢u. y"=u"v+2v¢u¢+v"u. y"¢=u"¢v+3v¢u"+3v"u¢+v"¢u. y⁽ⁿ⁾=(uv)⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾v+nv¢u^(n-1)+n(n-1)/2y"u^(n-2)+.. v⁽ⁿ⁾u

20. Нормаль. Уравнение нормали. Касательная. Уравнение касательной. Касательной к графику функции y=F(x) в точке M0 наз. примая явлю придельным положением секущей (если оно сущ) когда т М стремится к М0 если ф-я y=F(x) дифференцируема в т. X0, то при М стремящимся к М0 угловой коэфицент касательной равен приделу углового коэфицента секущей. lim∆xà0 F(x0+∆x)-F(x0) / ∆x = lim∆xà0 ∆y/∆x=F`(x0) таким образом уравнение касательной к графику функции y=F(x) в т. М0(х0,у0) им. Вид y=F`(x0)*(x-x0)+F(x0) Прямая проходящая через т. М0 перпендикулярно касательной наз. нормалью к кривой у=F(x) в т. М0 и им. вид y=-1/F`(x0)*(x-x0)+F(x0), где F`(x0)≠0 если F`(x0)=0, то нормаль имеет ур-е x=x0 2122.23 24 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или. Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. Для раскрытия неопределенностей 1^∞, 1⁰, ∞⁰ нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

25.Дифференциал функции первого порядка. Инвариантность формы первого дифференциала. Главная(линейная) часть приращения ф-и A(x0)*∆x=F`(x0)∆x наз. дифференциалом ф-и в т. Х0 и обозначается df(x0), то есть df(x0)= F`(x0)∆x

Диф ф-и y=(x)обозначается так же dy. Если аргумент х ф-ии y=f(x) явл. Независимой переменной, то, согласно опред. Его приращение и диф. Равны между собой, т.е. ∆x=dx что позволяет зап. Оконч вид выражения для диф: dy= F`(x)dx, от куда F`(x)= dy/dx или y`=dy/dx формула dy=F`(x)dx остается справедливой и в том случае когда х явл. Не независимой переменной а ф-ей независимого аргумента напр. t это cd-во нез. Инвариантностью формы первого дифференциала

26.Асимптоты графика функции. Прямая (l)наз. асимптотой графика ф-и y=f(x), если расстояние от произвольной т. М на графике до этой прямой стремиться к 0, когда [OM]à ∞, т.е. т.М не ограничено удаляется от начала координат. Если асимптота перпендикулярна оси ОХ, то ее наз. вертикальной, в противном случае – наклонной или горизонтальной, если она параллельна OX. Наличие или отсутствие асимптот у графика ф-и опред. Теоремами. 1. для того чтобы прямая х=а являлась вертикальной асимтотой графика ф-и у=f(x), необходимо и достаточно, чтобы обращался в ∞ хотя бы один из односторонних пределов lim xàa+0 F(x)=∞, lim xàa-0 F(x)=∞ 2. Для того чтобы прямая y=kx+и являлась наклонной асимптотой графика ф-и у=F(x), необходимо и достаточно чтобы сущ. Оба предела. K=lim xà∞F(x)/x, b=lim xà ∞(f(x)-kx) если эти пределы сущ. Только при xà +∞ (или xà -∞), то асимптота будет правосторонней (лево): если к=0 асимптота горизонтальная

27.Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.

Предположим, что функция y=g(x) имеет все производные до порядка n+1 включительно в некотором промежутке, содержащем точку x=a. Справедлива формула Тейлора

Найдем Q(x)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(x) (остаточный член в форме Лагранжа). При a=0 ф-ла Тейлора называется формулой Маклорена

28. Формула Тейлора для основных элементарных функций. Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при x0=0. 1. Рассмотрим функцию f(x)=e^x. Все её производные совпадают с ней: f^(k)(x)=e^x, так что коэффициенты Тейлора в точке x0=0 равны ak=1/k! F^(k)(0)=1/k!e⁰=1/k!, k=0,1.2….n Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова: e^x=1+x+x²/2!+….+xⁿ/n!+Rn(x) 2. Рассмотрим функцию f(x)=sinx. Её производные чередуются в таком порядке: F`(x)=cosx, F``(x)=-sinx, F```(x)=- cosx, F4(x)=sinx а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке x0=0также возникает повторение: f(0)=0, F`(0)=cos0=1, F``(0)=-sin0=0, F```(0)= -cos0=-1, и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами n=2k-1равны 1 при n=1,5,9,…, то есть при k=1,3,5,…, и -1при n=3,7,11,…, то есть при k=2,4,6,…. Таким образом, F^(2k-1) (0)=(-1)^k-1при всех K(-Nи коэффициенты Тейлора равны $\displaystyle a_n=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ при }n=2k, k=0,1,2,\dots\... ...{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!},&\mbox{ при }n=2k-1, k=1,2,3,\dots. \end{array}\right.$ Получаем формулу Тейлора для синуса: $\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x).$ Заметим, что мы можем записать остаточный член R_2k(x) вместо R_2k-1(x) (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка 2k, с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора. 3. Для функции f(x)=cosx производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке x0=0имеют то же чередование: f(0)=cos0=1, F`(0)=-sin0=0, F``(0)=-cos0= -1 … F⁽⁴⁾(0)= cos0= 1 Нетрудно видеть, что f⁽ⁿ⁾(0)=0 при n=2k-1, k=1,2,3,… и F⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^kпри n=2k, k=0,1,2,…. Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид cos x =1 –x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…+(-1)^k*x^2k/(2k)!+R_2k+1(x) Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее x^2k+1с нулевым коэффициентом.

29. Вторая производная функции, заданной параметрически

то ее первая производная определяется формулой

.Дифференцируя y`x поx как сложную функцию x и используя формулу для производной обратной функции, получим

30.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.

Ф-ия обращена выпуклостью вверх (вниз) на интервале, если все точки лежат ниже (выше) любой её касательной на этом интервале. Если во всех точках интервала вторая производная отрицательна, то кривая на этом интервале выпукла, и наоборот. Точка перегиба- точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой. Если f ``(а)=0 или её не существует, а при переходе через а производная меняет знак, то а- точка перегиба. Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a,b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках. Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции но отрезке [a,b]:

1. Найти все критические точки функции в интервале (a,b) и вычислить значения функции в этих точках. 2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x=a, x=b. 3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

31. Необходимое и достаточное условия существования локального экстремума функции одной переменной.

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x=x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль. Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях ∆x имеем f(x0+∆x)<f(x0), т.е. f(x0+∆x)-f(x0)<0 Но тогда f(x0+∆x)-f(x0)/∆x >0 при ∆x <0, f(x0+∆x)-f(x0)/∆x <0 при ∆x >0

Переходя в этих неравенствах к пределу при ∆xà0 и учитывая, что производная f`(x0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как ∆xà0, получаем: при ∆xà0-0 f`(x0)≥0 а при ∆xà0+0 f`(x0)≤0 Так как f`(x0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f`(x0)=0

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль. Достаточное условие Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x=x0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x0слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.Таким образом, если а) f¢(x)>0 при x<x0и f¢(x)<0 при x>x0, то x0- точка максимума;б) f`(x)<0 при х<x0 и f¢(x)>0 при x>x0, то x0- точка минимума.

33. Кривизна, радиус кривизны кривой. Кривизна параметрически заданной кривой

Радиусом кривизны кривой L в точке M(-L называется число r=1/k, где k- кривизна линии L в точке M. Если кривизна в точке M равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным +∞. Для окружности это определение даёт значение радиуса кривизны, совпадающее с радиусом окружности (постоянное во всех точках окружности). Без доказательства сообщим, что из всех окружностей, касающихся линии L в фиксированной точке M(x0:y0), наиболее плотно прилегает к линии L та окружность, которая имеет радиус, равный радиусу кривизны кривой в точке M, и выпуклость в ту же сторону, что кривая L. Эта окружность называется окружностью кривизны линии L в точкеM

34. Кривизна, радиус кривизны кривой. Переходная кривая Для того, чтобы между прямой и соединенной с ней окружностью r(с общей касательной в точке сопряжения) не было скачка кривизны, вызывающего скачок центробежной силы, например, для железнодорожного полотна, необходимо между прямой и окружностью вставить переходный участок. Пусть этот участок имеет форму кубической параболы y=ax³/3. Одна точка спряжения - между прямой и кривой - в начале координат, в другой точке сопряжения x₀ кривизна переходной кривой и окружности совпадает r=(1+y¢²)^3/2/y" = (1+a²x₀²)^3/2/(2ax₀) Отсюда можно найти параметр a в зависимости от радиуса скругления r и места сопряжения

Множество всех цетров кривизны кривой y = f(x) называется эволютой этой кривой, а сама кривая называется эвольвентой. Ясно, что эволютой круга служит его центр, а сам круг есть эвольвента своего центра. В курсах математического анализа доказываются интересные взаимные свойства эволюты и эвольвенты: 1. Нормаль к эвольвенте есть касательная к эволюте в соответствующей точке (смотри рисунок). Под соответствующими точками подразумевают точку M(x; y) эвольвенты и точку эволюты, которая является центорм круга кривизны кривой y = f(x) в точке M. 2. Разность радиусов кривизны, проведенных через две какие-либо точки A и B эвольвенты, равна длине дуги эволюты, концами которой служат точки A₁ и B₁, соответствующие точкам A и B

36. Эвольвента. Эвольвента окружности Эвольвентой окружности называется траектория точки прямой линии, когда эта прямая перекатывается без скольжения по окружности.

37.Функции многих переменных. Определение. Частное и полное приращение функции Определение. 1.Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). z=f(x,y)

2.Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

3.Частное и полное приращение функции. Полное приращение функции Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)Частное приращение функции Dx z=f(x+Dx)-f(x,y) Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y) Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений. 4.Непрерывность функции нескольких переменных Предел функции Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности A(x0,y0). Определение. Постоянное число b называют пределом z=f(x,y) при P(x,y) стремящемся к A, если для любого e > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |AP| < d, имеет место неравенство |f(x,y)-b| < e. 5.Непрерывная функция 6.Частные производные

38. Предел функции многих переменных. Непрерывность функции. Пусть функция f(x) определена на некотором интервале (a,b), для которого x0- внутренняя точка. Функция f(x)называется непрерывной в точке x0, если существует предел f(x)xàx0 при xàx0 и этот предел равен значению F(x0), то есть lim xà∞ f(x)=f(x0) Пусть функция f(x) определена на некотором полуинтервале [x0:b), для которого x0- левый конец. Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x0, если существует предел f(x) при xàx0+ и этот предел равен значению f(x0), то есть lim xà∞+ f(x)=f(x0) Пусть, наконец, функция f(x)определена на некотором полуинтервале (a:x0], для которогоx0 -- правый конец. Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует предел f(x)при xàx0-и этот предел равен значению f(x0), то есть lim xà∞- f(x)=f(x0)

Функция f(x) тогда и только тогда непрерывна в точкеx0, когда она непрерывна в точке x0 справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия: 1) функция f(x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки; 2) существует предел значений функции слева: lim xàx0- f(x)=f(x0-)3) существует предел значений функции справа: lim xà x0- f(x)=f(x0+); 4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке x0: f(x0-)=f(x0+=f(x0)

39. Частные производные. Дифференциал первого порядка Пусть f(x,y) - функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки (x0,y0). Если существует конечный предел lim ∆xà0 f(x0+∆x,y0)-f(x0,y0)/ ∆x, то говорят, что функция f(x,y) имеет в точке (x0,y0) частную производную по переменной x. Аналогично определяется частная производная по y. Обозначают: lim ∆xà0 f(x0+∆x,y)-f(x0,y0)/∆x =f`x(x0,y0) = dxf(x0,y0)=δxf(x0,y0)= δf/δx

Пусть f(x),x=(x1,x2…xn)(- GcRn- функция n переменных, определенная в области Gn-мерного пространства. Частной производной функции f(x1,x2,…xn) по переменной xi называется предел lim ∆xià0 f(x1,x2,…xi+∆xi,…xn)-f(x1,x2,..xi..xn)/ ∆xi=δf(x1,x2,..xn)/ δxi

Из определения частной производной следует правило: при вычислении производной по одной из переменных все остальные переменные считаем постоянными, учитывая, что производная постоянной равна нулю и постоянную можно выносить за знак производной.

Дифференциалом первого порядка функции y=f(x) называется главная, линейная относительно аргумента часть . Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента:dx=∆x Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: dy =y`dx Основные свойства дифференциала: 1. dC=0, где С=const. 2. dCU=C*dU 3. d(U±V)=dU±dV 3.d(U±V)=dU±dV 4.d(UV)=UdV+VdU 5.d(U/V)=VdU-UdV/V2 , (V≠0) 6.df(U)=f`(U)dU Если приращение ∆x аргумента мало по абсолютной величине, то ∆y≈dy и f(x+∆x) ≈f(x)+f`(x)* ∆x Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

40. Частные производные сложной функции. Производная по направлению. Градиент

Проведем через точки М и М₁ вектор S. Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора S. Расстояние между точками М и М₁ на векторе S обозначим DS.

Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

, где величины e₁, e₂, e₃ – бесконечно малые при ∆Sà0. Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора S. Из этого уравнения следует следующее определение: Предел lim ∆Sà0 ∆u/∆S называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора S в точке с координатами ( x, y, z). Производная по направлению- Предел отношения Ñu/Ñs при Ñs®0 называется производной от ф-ии u=u(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора S и обозначается du/ds Градиент В каждой точке области D, в которой задана ф-ия u=u(x,y,z), определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных du/dx, du/dy, du/dz этой ф-ии в соответствующей точке: grad u=(du/dx)*I+(du/dy)*j+(du/ dz*k)

41 Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Тейлора имеет вид f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+1/2!f``(x0)(x-x0)²..+1/m!^f(m)(x0)(x-x0)^m+1/(m+1)!^f(m+1)(xt)(x-x0)^m+1

Где x0 - фиксированная точка, в которой ведётся разложение,x -- текущая точка, а x^t -некоторая точка отрезка между точками x0 и x. При этом предполагается, что функция f имеет производную (m+1) -го порядка, определённую в некторой окрестности точки x0. Последнее слагаемое формулы, то есть 1/(m+1)! F^(m+1) (xt)(x-x0)^m+1называется остаточным членом формулы Тейлора, а многочлен от x, равный $\displaystyle T_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{1}{m!}f^{(m)}(x_0)(x-x_0)^m,$ называется многочленом Тейлора функции f в точке x0.

42. Максимум и минимум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума Критические точки. Минимакс

Пусть ф-я z=f(x,y)определенна в т.(х0, у0) и ее некоторые окрестности (корень из (x-x0)² + (y-y0)²< δ говорят что ф-я z=f(x,y) имеет в т. .(х0, у0) мах(min)если для любой точки этой окрестности выполняется неравенство: f(x,y)≤ f(х0, у0), или ∆.(х0, у0)≤0 f(x,y)≥ f(х0, у0), или ∆.(х0, у0)>0 общий термин для max и min – экстремум

43. Мaтрицы. Действия над матрицами. Матричная форма записи линейных уравнений.

Матрицей размера mxn наз. прямоугольную таблицы, содержащую м строк и n столбцов. Элементы таких таблиц действительные числа. Строки и столбцы матрицы последовательно нумеруются, и элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, обозначается символом a_ij сами матрицы обычно обозначают заглавными буквами лат. алфавита. Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов(m=n)такую матрицу наз. квадратной

И говорят что она имеет порядок n .Элементы a₁₁,a₂₁…a_nn наз. диагональными и образуют гл. диагональ квадратной матрицы. Квадратная матрица наз. треугольной, если равны 0 все ее элементы, расположенные ниже (выше)главной диагонали. Квадратная матрица наз. диагональной если равны 0 все ее эл-ты расположенные вне главной диагонали. матрица у которой все диагональные Эл-ты равны 1 наз. единичной обозначается Е .Матрица все эл-ты которой равны 0 наз. нулевой обозначается О. 1Две матрицы наз равными если они имеют одинаковый размер и равны все соответствующее Эл-ты этих матриц.2 суммой А+В матриц одинокого размера mxn наз. матрица С того же размера каждый Эл-т которой равен сумме соответствующих эл-ов матриц АиВ3. произведением матрицы А на число α наз. матрица В= αА, полученная из матрицы А умножением всех ее эл-ов на α.4.произведением двух матриц А-размера mxn и В nxk наз. матрица С = AxB размера mxk элемент Сij который равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j- го столбца матрицы В.

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так: S ni=1aij xj = bi , i=1,2, ..., n.

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где

где M1 <j> - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a1j .

Формула
det A =

называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.
Число (-1) j+1 M1 <j> называется алгебраическим дополнением элемента a1j.

Пусть Mi <j> - определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (минор элемента aij ).
Число (-1) j+i Mi <j> называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A.
Справедливы формулы вычисления определителя квадратной матрицы A разложением по i-й строке и разложением по j-му столбцу:

Если квадратная матрица A^T является транспонированной матрицей A, то их определители совпадают |A^T | = |A|, т.е. определитель не меняется, если заменить его строки столбцами и обратно, например, для определителя третьего порядка

При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е., например,

Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца, то он равен нулю. Например,

. Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A| = –|A| или |A| = 0. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя. Например,

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. (Доказательство – проверкой). Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,

Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.

45. Правило Крамера решения системы линейных уравнений. Системой однородных линейных уравнений называется система вида

Ясно, что в этой случае ∆1=∆2=∆3=0, т.к. все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю. Так как неизвестные находятся по формулам x=∆1/∆,y=∆2/∆, z=∆3/∆, то в случае, когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.

Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.

46. Обратная матрица. Условие существования. Решение системы уравнений методом обратной матрицы. Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию AA^-1=A^-1A=E. (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел) Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Чтобы найти обратную матрицу нужно:

Найти определитель матрицы A. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу A`, элементами которой являются числа Aij.

Найти матрицу, транспонированную полученной матрицеA`, и умножить её на 1/[A]– это и будет . Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица

47.Теорема Кронекера-Капелли. Всегда ли совместна однородная система? Когда однородная система линейных уравнений имеет единственное решение? Когда однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение? Рангом матрицы наз. число, равное наибольшему из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы r(A).ранг не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. Ранг равен числу не нулевых строк, после ее приведения к треугольному или трапециевидному виду. Теорема – сис-ма линейных ур-й совместна тогда и только тогда когда ранг матрицы сис-мы равен рангу расширенной матрицы сис-мы т.е r(A)=r(Ā) любая сис-ма линейных ур-й 1 либо не совместна, когда r(A) ≠ r(Ā) 2. либо им-ет единственное решение, когда r(A)=r(Ā)=n, где n – число неизвестных сис-мы 3. либо имеет бесконечное множество решений когда r(A)=r(Ā)<n однородная сис-ма линейных ур-й имеет единственное (тривиальное)решение тогда и только тогда когда ранг матрицы сис-мы равен числу не известных, r(A)=n. Однородная сис-ма им-е хотябы одно нетривиальное решение тогда и только тогда когда ранг матрицы сис-мы меньше числа неизвестных r(A)<n. Если число ур-й однородной сис-мы меньше числа неизвестных (m<n)то сис-ма имеет не тривиальные решения. Если число ур-й однородной сис-мы равно числу неизвестных (m=n) то не тривиальные решение сущ. Тогда и только тогда когда определитель сис-мы ∆=0

48.Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

перестановка строк; умножение строки на число, отличное от нуля; сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица

, последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

49. Скалярное и векторное произведение. Норма вектора. Угол между векторами. Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости.Скалярное произведение двух векторов наз. число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. Векторное произведение векторов. Векторным произведением [a, b] векторов a и b ( в указанном порядке ) называется вектор:

Угол между ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: (a,b)=[a][b]cos(a,b)

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю: (a,0)=(0,b)=0 Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле: cos (a,b)=(a,b)/[a]*[b]

Скалярное произведение ( a , a ), равное | a | 2, называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:

Скалярное произведение двух векторов:

- положительно, если угол между векторами острый ;

- отрицательно, если угол между векторами тупой. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны) (a,b)=0 <==>a ┴b

50. Площадь треугольника и объем тетраэдра.

Каковы бы ни были три точки А (х1, у1), В (х2; y2), С (х3, у3), площадь S треугольника ABC даётся формулой

Правая часть этой формулы равна +S в том случае, когда кратчайший поворот отрезка АВ к отрезку АС положителен, и — S b том случае, когда такой поворот отрицателен. Тетраэдр принадлежит к семейству платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Тетраэдр - простейший многогранник, его гранями являются четыре равносторонних треугольника. Несмотря на свою простоту, тетраэдр - полноправный представитель семейства платоновых тел. Все его грани - одинаковые правильные многоугольники, все его многогранные углы равны. Тетраэдр - пространственный аналог плоского равностороннего треугольника, поскольку он имеет наименьшее число граней, отделяющих часть трехмерного пространства 1.VABCD=1/3*SABC*hD,

где высота hD в данном случае есть расстояние от вершины D до плоскости грани ABC.

Если a, b, c - исходящие из одной вершины ребра тетраэдра, а r1,r2,r3,r4- радиус-векторы соответствующих вершин тетраэдра, то его объем V-1/6mod(abc)=1/6mod((r4-r1)(r3-r1)(r2-r1))

51. Уравнение прямой в плоскости. (5 вариантов). Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

52. Уравнение прямой и плоскости в пространстве.

53. Решение геометрических задач с использованием свойств скалярного и векторного произведения (угол между плоскостями, расстояние между прямыми и т.п.).

54. Эллипс. Определение. Свойства. Построение. Директриса, фокальный параметр. Эксцентриситет. Расстояние от точки эллипса до фокусов Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Пусть F1и F2- фокусы эллипса. Начало O системы координат расположим на середине отрезкаF1F2. Ось Ox направим вдоль этого отрезка, осьOy - перпендикулярно к этому отрезку Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна2a, а расстояние между фокусами –2c. Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$ где $\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}.$

Фокусами в выбранной системе координат являются точки F1(-c;0), F2(c;0).

Пусть эллипс задан уравнением и M1(x1;y1)- какая-то точка эллипса. Тогда $\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1.$ Точка M2(-x1,y1) является точкой, симметричной точке M1относительно оси Oy

Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -- центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины - малой полуосью. Величина E=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Если эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты (-a;0), (a:0),(0:-b),(0:b), большая полуось равна a, малая полуось равна b. Величина c, являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы для величины b, а именно, ${c=\sqrt{ a^2-b^2}}$

Эксцентриситет E эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса 0<E<1.

Эллипс обладает многими замечательными свойствами. Пусть F1 и F2- фокусы эллипса, M - произвольная точка на эллипсе. Тогда нормаль (перпендикуляр к касательной) к эллипсу в точке M делит угол F1MF2 пополам.

Отражение лучей света от эллипса Если из одного фокуса выходит в плоскости эллипса луч света, то отразившись от самого эллипса, он обязательно пройдет через другой фокус.

Выражаем свою благодарность Игорю Тюрикову (1-УИк-8) за обеспечение необходимой информацией и поддержку сайта.