Вопросы к экзамену по высшей математике
(АиУ-4,5, Уи-6,7,8. 2007)
Комплексные числа
- Комплексные числа. Определение. Основные действия.
- Извлечение корня из комплексного числа и возведение в степень.
Муавра формула.
- Комплексные числа. Формула Эйлера.
Интегралы
- Первообразная. Неопределенный интеграл. Определение.
- Таблица интегралов.
- Свойства неопределенных интегралов.
- Способы интегрирования. Замена переменных. Способы
интегрирования функций, содержащих квадратный трехчлен.
- Интегрирование по частям.
- Правильные и неправильные рациональные дроби. Интегралы от
рациональных дробей.
- Интегралы от иррациональных функций.
- Три подстановки Эйлера.
- Интегрирование дифференциального бинома.
- Интегралы от тригонометрических функций. Универсальная
подстановка.
- Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные
функции. Эллиптический интеграл. Интегральный синус, косинус,
логарифм.
- Определенный интеграл. Существование. Нижняя и верхняя
интегральные суммы. Равномерная непрерывность функции.
- Шесть свойств определенного интеграла, включая теорему о
среднем.
- Формула Ньютона-Лейбница.
- Несобственные интегралы. Сходимость и абсолютная сходимость.
Интеграл от разрывной функции.
- Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
- Приложение определенного интеграла. Площадь плоской фигуры в
декартовой и полярной системе координат.
- Длина дуги кривой, заданной параметрически.
- Длина дуги. Длина дуги в полярных координатах.
- Вычисление объем тела по параллельным сечениям.
- Вычисление объем тела вращения.
- Поверхность тела вращения.
- Центр тяжести и моменты инерции. Примеры (круг, дуга
окружности).
- Двойной интеграл. Свойства. Правильная область. Вычисление с
помощью двукратного интеграла.
- Изменение пределов интегрирования в двойном интеграле.
Вычисление объема.
- Двойной интеграл в полярной системе координат. Функциональный
определитель Якоби. Пример применения.
- Вычисление площади поверхности и моментов инерции с помощью
двойного интеграла.
- Эллипс инерции. Неравенство Буняковского.
- Тройной интеграл и его вычисление.
- Криволинейный интеграл. Свойства.
- Формула Грина.
- Условие независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования.
- Поверхностный интеграл. Формула Стокса.
- Элементы теории поля. Определение поля. Потенциал. Ротор.
Условие потенциальности. Связь с оператором Гамильтона.
- Формула Остроградского.
- Элементы теории поля. Дивергенция. Градиент. Оператор Лапласа.
Гармонические функции. Связь с оператором Гамильтона. Специальные
поля.
Ряды
- Ряды. Частичные суммы. Отбрасывание нескольких членов ряда.
- Необходимый признак сходимости ряда.
- Достаточный признак расходимости ряда.
- Теоремы сравнения. Доказательство расходимости гармонического
ряда.
- Признак Даламбера. Пример.
- Признак Коши. Пример.
- Интегральный признак. Пример.
- Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная сходимость.
Условная сходимость.
- Функциональные ряды. Область сходимости.
- Степенные ряды. Радиус сходимости.
- Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак
Вейерштрассе.
- Нахождение суммы ряда интегрированием или дифференцированием.
Дискретная математика
- Множества, собственное подмножество. Объединение множеств,
пересечение, разность, симметрическая разность, абсолютное
дополнением. Универсальное множество. Свойства операций
(коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность,
идемпотентность).
- Свойства универсального и пустого множеств. Закон двойного
дополнения.Законы де Моргана. Парадокс Рассела. Булеан. Мощность
множества. Мощность булеана.
- Прямое произведение. Упорядоченная пара. Три свойства прямого
произведения. Соответствие между множествами.
- Отношения унарные и бинарные. Граф отношения. Матрица отношения.
Единичное отношение. Полное отношение. Обратное отношение. Свойства
отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность,
антисимметричность, асимметричность, транзитивность).
- Замыкание отношения. Рефлексивное замыкание. Транзитивное
замыкание. Теорема о виде транзитивного замыкания. Вид транзитивного
рефлексивного замыкания.
Графы
- Граф, ребро, вершина, дуги, ориентированные и неориентированные
графы. Кратные ребра, мультиграф, петли. Конечный граф. Пустой граф.
Полный граф. Граф двудольный. Полный двудольный граф.
- Матрица инцидентности. Список ребер. Матрица смежности.
- Маршрут. Эксцентриситет вершины. Радиус, диаметр, центр,
периферия графа.
- Маршрут циклический. Цепь. Путь. Контур. Простая цепь. Цикл.
Простой цикл.
- Дерево. Кодировка Прюфера. Двоичная и десятичная кодировки
(для 4 и 5 гр.)
- Раскраски графа (вершинные, реберные, картографические).
Правильные раскраски. Хроматический полином и редукция по пустым и
полным графам. Центроид. Гамильтонов цикл. Задача коммивояжера (для
4 и 5 гр.).
|